Triángulo heptagonal

Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario). Por lo tanto, sus tres lados coinciden con un lado y con las diagonales adyacentes más cortas y más largas de un heptágono regular. Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal. Sus ángulos miden ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ y ${\displaystyle 4\pi /7,}$ y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4. El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.

Puntos clave

El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto de Brocard.^[1]​ ^{: Propos. 12}

El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos.^[2]​ ^{: p. 19}

El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero.^[1]​ ^{: Thm. 22}

La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada por^[2]​ ^{: p. 19}

${\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},}$

donde R es el circunradio. La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro es^[2]​ ^{: p. 19}

${\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2} 4r^{2}}{2}},}$

donde r es el inradio.

Las dos tangentes desde el ortocentro hasta el circuncírculo son mutuamente perpendiculares.^[2]​ ^{: p. 19}

Relaciones de distancias

Lados

Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga. Satisfacen que^[3]​ ^{: Lemma 1}

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(c-b),\\[5pt]b^{2}&=a(c a),\\[5pt]c^{2}&=b(a b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}} {\frac {1}{c}}\end{aligned}}}$

(la última^[2]​ ^{: p. 13} es la ecuación óptica) y por lo tanto

${\displaystyle ab ac=bc,}$

y^[3]​ ^{: Coro. 2}

${\displaystyle b^{3} 2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2} a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2} b^{3}=0.}$

Por lo tanto, -b/c, c/a y a/b satisfacen la ecuación cúbica

${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t 1=0.}$

La relación entre los lados es

${\displaystyle b=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\cdot a,\qquad c=\left(1 2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\right)\cdot a.}$

y las raíces de esta ecuación son:

${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}=1-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\\t_{2}=1 2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\\t_{3}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)\end{cases}}}$

También se tiene que^[4]​

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}}$

satisface la ecuación cúbica

${\displaystyle t^{3} 4t^{2} 3t-1=0}$

y las raíces de esta ecuación son:

${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}=-1-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\\t_{2}=-1 2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\\t_{3}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)-2\end{cases}}}$

También se tiene que^[4]​

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}}$

satisface la ecuación cúbica

${\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t 1=0}$

y las raíces de esta ecuación son:

${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}=1-4\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\\t_{2}=1 4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\\t_{3}=8\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)-1\end{cases}}}$

Así mismo, los valores^[4]​

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}}$

satisfacen la ecuación cúbica

${\displaystyle t^{3} 5t^{2}-8t 1=0}$

y las raíces de esta ecuación son:

${\displaystyle {\begin{cases}t_{1}=-2\left[\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right) 2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right) 1\right]\\t_{2}=6\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)-2\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)-3\\t_{3}=2\left[3\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\right]\end{cases}}}$

También se tiene que^[2]​ ^{: p. 14}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

y^[2]​ ^{: p. 15}

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}} {\frac {c^{2}}{b^{2}}} {\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

Por otro lado^[4]​

${\displaystyle ab-bc ca=0,}$

${\displaystyle a^{3}b-b^{3}c c^{3}a=0,}$

${\displaystyle a^{4}b b^{4}c-c^{4}a=0,}$

${\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3} c^{11}a^{3}=0.}$

No hay otro par de números (m, n), tales que m, n > 0 y que m, n <2000, que cumplan ^{[cita requerida]}

${\displaystyle a^{m}b^{n}\pm b^{m}c^{n}\pm c^{m}a^{n}=0.}$

Alturas

Las alturas h_a, h_b y h_c satisfacen

${\displaystyle h_{a}=h_{b} h_{c}}$^[2]​ ^{: p. 13}

y

${\displaystyle h_{a}^{2} h_{b}^{2} h_{c}^{2}={\frac {a^{2} b^{2} c^{2}}{2}}.}$^[2]​ ^{: p. 14}

La altura desde el lado b (ángulo opuesto B) es la mitad de la bisectriz del ángulo interno ${\displaystyle w_{A}}$ de A:^[2]​ ^{: p. 19}

${\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.}$

Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo ángulo más pequeño.

Bisectrices

Se tienen las siguientes propiedades de las bisectrices ${\displaystyle w_{A},w_{B},}$ y ${\displaystyle w_{C}}$ de los ángulos A, B y C respectivamente:^[2]​ ^{: p. 16}

${\displaystyle w_{A}=b c,}$

${\displaystyle w_{B}=c-a,}$

${\displaystyle w_{C}=b-a.}$

Circunradio, inradio y exinradios

El área del triángulo es^[5]​

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},}$

donde R es el circunradio del triángulo.

Se tiene que^[2]​ ^{: p. 12}

${\displaystyle a^{2} b^{2} c^{2}=7R^{2}.}$

También se tiene que^[6]​

${\displaystyle a^{4} b^{4} c^{4}=21R^{4}.}$

${\displaystyle a^{6} b^{6} c^{6}=70R^{6}.}$

La relación ${\displaystyle {\frac {r}{R}}=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)-{\frac {3}{2}}}$ del inradio respecto al circunradio es la solución positiva de la ecuación cúbica^[5]​

${\displaystyle 8x^{3} 28x^{2} 14x-7=0}$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)-{\frac {3}{2}}}$ y ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {5\pi }{7}}\right)-{\frac {3}{2}}}$.

La relación ${\displaystyle {\frac {r_{a} r_{b} r_{c}}{R}}=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right) {\frac {5}{2}}}$ de la suma de los exinradios respecto al circunradio es la mayor de las raíces de la ecuación cúbica:

${\displaystyle 8x^{3}-68x^{2} 174x-127=0}$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right) {\frac {5}{2}}}$ y ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {5\pi }{7}}\right) {\frac {5}{2}}}$.

La relación ${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{r_{a}}} {\frac {1}{r_{b}}} {\frac {1}{r_{c}}}}{R}}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)}$ de la suma de los inversos de los exinradios respecto al circunradio es la única raíz positiva de la ecuación cúbica:

${\displaystyle x^{3} 2x^{2}-8x-8=0}$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación ${\displaystyle 4\cos \left({\frac {4\pi }{7}}\right)}$ y ${\displaystyle 4\cos \left({\frac {6\pi }{7}}\right)}$.

Además,^[2]​ ^{: p. 15}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}} {\frac {1}{b^{2}}} {\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.}$

También se tiene que^[6]​

${\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}} {\frac {1}{b^{4}}} {\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}} {\frac {1}{b^{6}}} {\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.}$

En general para todos los enteros n,

${\displaystyle a^{2n} b^{2n} c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}}$

donde

${\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7}$

y

${\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2) 7g(n-3).}$

Así mismo^[6]​

${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.}$

También se tiene que^[4]​

${\displaystyle a^{3}c b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},}$

${\displaystyle a^{4}c-b^{4}a c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},}$

${\displaystyle a^{11}c^{3} b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.}$

El exradio r_a correspondiente al lado a es igual al radio de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo heptagonal.^[2]​ ^{: p. 15}

Triángulo órtico

El triángulo órtico del triángulo heptagonal, con vértices en los pies de las alturas, es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2. El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo con esta propiedad).^[2]​ ^{: pp. 12–13}

Propiedades trigonométricas

Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen:^[2]​ ^{: pp. 13–14 [5]}​

${\displaystyle A={\frac {\pi }{7}},\quad B={\frac {2\pi }{7}},\quad C={\frac {4\pi }{7}}.}$

${\displaystyle \cos A=b/2a,\quad \cos B=c/2b,\quad \cos C=-a/2c,}$^[4]​ ^{: Proposition 10}

${\displaystyle \cos A\cos B\cos C=-{\frac {1}{8}},}$

${\displaystyle \cos ^{2}A \cos ^{2}B \cos ^{2}C={\frac {5}{4}},}$

${\displaystyle \cos ^{4}A \cos ^{4}B \cos ^{4}C={\frac {13}{16}},}$

${\displaystyle \cot A \cot B \cot C={\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}A \cot ^{2}B \cot ^{2}C=5,}$

${\displaystyle \csc ^{2}A \csc ^{2}B \csc ^{2}C=8,}$

${\displaystyle \csc ^{4}A \csc ^{4}B \csc ^{4}C=32,}$

${\displaystyle \sec ^{2}A \sec ^{2}B \sec ^{2}C=24,}$

${\displaystyle \sec ^{4}A \sec ^{4}B \sec ^{4}C=416,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} A\operatorname {sen} B\operatorname {sen} C={\frac {\sqrt {7}}{8}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}A\operatorname {sen} ^{2}B\operatorname {sen} ^{2}C={\frac {7}{64}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}A \operatorname {sen} ^{2}B \operatorname {sen} ^{2}C={\frac {7}{4}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}A \operatorname {sen} ^{4}B \operatorname {sen} ^{4}C={\frac {21}{16}},}$

${\displaystyle \tan A\tan B\tan C=\tan A \tan B \tan C=-{\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \tan ^{2}A \tan ^{2}B \tan ^{2}C=21.}$

La ecuación cúbica

${\displaystyle 64y^{3}-112y^{2} 56y-7=0}$

tiene soluciones^[2]​ ^{: p. 14} ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}{\frac {\pi }{7}},\operatorname {sen} ^{2}{\frac {2\pi }{7}},}$ y ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}{\frac {4\pi }{7}},}$ que son los senos al cuadrado de los ángulos del triángulo.

La solución positiva de la ecuación cúbica

${\displaystyle x^{3} x^{2}-2x-1=0}$

es igual ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}},}$ que es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo.^[7]​ ^{: p. 186–187}

Sen (2π/7), sen (4π/7) y sen (8π/7) son las raíces de^[4]​

${\displaystyle x^{3}-{\frac {\sqrt {7}}{2}}x^{2} {\frac {\sqrt {7}}{8}}=0.}$

También se tiene que:^[6]​

${\displaystyle \operatorname {sen} A-\operatorname {sen} B-\operatorname {sen} C=-{\frac {\sqrt {7}}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} A\operatorname {sen} B-\operatorname {sen} B\operatorname {sen} C \operatorname {sen} C\operatorname {sen} A=0,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} A\operatorname {sen} B\operatorname {sen} C={\frac {\sqrt {7}}{8}}.}$

${\displaystyle -\operatorname {sen} A,\operatorname {sen} B,\operatorname {sen} C{\text{ son las raíces de }}x^{3}-{\frac {\sqrt {7}}{2}}x^{2} {\frac {\sqrt {7}}{8}}=0.}$

Para un entero n, sea

${\displaystyle S(n)=(-\operatorname {sen} {A})^{n} \operatorname {sen} ^{n}{B} \operatorname {sen} ^{n}{C}.}$

Para n = 0, ..., 20,

${\displaystyle S(n)=3,{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7}{2^{2}}},{\frac {\sqrt {7}}{2}},{\frac {7\cdot 3}{2^{4}}},{\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}},{\frac {7\cdot 5}{2^{5}}},{\frac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}},{\frac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}},{\frac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}},{\frac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}},}$

${\displaystyle {\frac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}},{\frac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}},{\frac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}},{\frac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}},{\frac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}},{\frac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}},{\frac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}},{\frac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}},{\frac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}.}$

Para n = 0, -1,, ..-20,

${\displaystyle S(n)=3,0,2^{3},-{\frac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}},2^{5},-{\frac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {2^{6}\cdot 17}{7}},-2^{7}{\sqrt {7}},{\frac {2^{9}\cdot 11}{7}},-{\frac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{10}\cdot 29}{7}},-{\frac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}},}$

${\displaystyle -{\frac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {2^{14}\cdot 51}{7}},-{\frac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}},-{\frac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}},-{\frac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}},{\frac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}.}$

${\displaystyle -\cos A,\cos B,\cos C{\text{ son las raíces de }}x^{3} {\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}=0.}$

Para cualquier entero n

${\displaystyle C(n)=(-\cos {A})^{n} \cos ^{n}{B} \cos ^{n}{C}.}$

Para n = 0, 1, ... 10,

${\displaystyle C(n)=3,-{\frac {1}{2}},{\frac {5}{4}},-{\frac {1}{2}},{\frac {13}{16}},-{\frac {1}{2}},{\frac {19}{32}},-{\frac {57}{128}},{\frac {117}{256}},-{\frac {193}{512}},{\frac {185}{512}},...}$

${\displaystyle C(-n)=3,-4,24,-88,416,-1824,8256,-36992,166400,-747520,3359744,...}$

${\displaystyle \tan A,\tan B,\tan C{\text{ son las raíces de }}x^{3} {\sqrt {7}}x^{2}-7x {\sqrt {7}}=0.}$

${\displaystyle \tan ^{2}A,\tan ^{2}B,\tan ^{2}C{\text{ son las raíces de }}x^{3}-21x^{2} 35x-7=0.}$

Para un entero n, sea

${\displaystyle T(n)=\tan ^{n}{A} \tan ^{n}{B} \tan ^{n}{C}.}$

Para n = 0, 1, ... 10,

${\displaystyle T(n)=3,-{\sqrt {7}},7\cdot 3,-31{\sqrt {7}},7\cdot 53,-7\cdot 87{\sqrt {7}},7\cdot 1011,-7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 2771,-7\cdot 32119{\sqrt {7}},7^{2}\cdot 53189,}$

${\displaystyle T(-n)=3,{\sqrt {7}},5,{\frac {25{\sqrt {7}}}{7}},19,{\frac {103{\sqrt {7}}}{7}},{\frac {563}{7}},7\cdot 9{\sqrt {7}},{\frac {2421}{7}},{\frac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}},{\frac {10435}{7}},...}$

También se tiene que^[6]​^[8]​

${\displaystyle \tan A-4\operatorname {sen} B=-{\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \tan B-4\operatorname {sen} C=-{\sqrt {7}},}$

${\displaystyle \tan C 4\operatorname {sen} A=-{\sqrt {7}}.}$

Así mismo^[4]​

${\displaystyle \cot ^{2}A=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}B=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}},}$

${\displaystyle \cot ^{2}C=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}.}$

También se tiene que^[4]​

${\displaystyle \cos A=-{\frac {1}{2}} {\frac {4}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{3}C,}$

${\displaystyle \cos ^{2}A={\frac {3}{4}} {\frac {2}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{3}A,}$

${\displaystyle \cot A={\frac {3}{\sqrt {7}}} {\frac {4}{\sqrt {7}}}\cos B,}$

${\displaystyle \cot ^{2}A=3 {\frac {8}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} A,}$

${\displaystyle \cot A={\sqrt {7}} {\frac {8}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{2}B,}$

${\displaystyle \csc ^{3}A=-{\frac {6}{\sqrt {7}}} {\frac {2}{\sqrt {7}}}\tan ^{2}C,}$

${\displaystyle \sec A=2 4\cos C,}$

${\displaystyle \sec A=6-8\operatorname {sen} ^{2}B,}$

${\displaystyle \sec A=4-{\frac {16}{\sqrt {7}}}\operatorname {sen} ^{3}B,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}A={\frac {1}{2}} {\frac {1}{2}}\cos B,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}A=-{\frac {\sqrt {7}}{8}} {\frac {\sqrt {7}}{4}}\cos B,}$

También se tiene que^[9]​

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}B\operatorname {sen} C-\operatorname {sen} ^{3}C\operatorname {sen} A-\operatorname {sen} ^{3}A\operatorname {sen} B=0,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} B\operatorname {sen} ^{3}C-\operatorname {sen} C\operatorname {sen} ^{3}A-\operatorname {sen} A\operatorname {sen} ^{3}B={\frac {7}{2^{4}}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}B\operatorname {sen} C-\operatorname {sen} ^{4}C\operatorname {sen} A \operatorname {sen} ^{4}A\operatorname {sen} B=0,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} B\operatorname {sen} ^{4}C \operatorname {sen} C\operatorname {sen} ^{4}A-\operatorname {sen} A\operatorname {sen} ^{4}B={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}},}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{11}B\operatorname {sen} ^{3}C-\operatorname {sen} ^{11}C\operatorname {sen} ^{3}A-\operatorname {sen} ^{11}A\operatorname {sen} ^{3}B=0,}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}B\operatorname {sen} ^{11}C-\operatorname {sen} ^{3}C\operatorname {sen} ^{11}A-\operatorname {sen} ^{3}A\operatorname {sen} ^{11}B={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}.}$

También se cumplen identidades de tipo Ramanujan,^[10]​

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}} {\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {2\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {4\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{6 3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}} {\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{12 3({\sqrt[{3}]{49}} 2{\sqrt[{3}]{7}})}} {\sqrt[{3}]{11 3({\sqrt[{3}]{49}} 2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {sen} ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{12 3({\sqrt[{3}]{49}} 2{\sqrt[{3}]{7}})}} {\sqrt[{3}]{11 3({\sqrt[{3}]{49}} 2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{11 3(2{\sqrt[{3}]{7}} {\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{12 3(2{\sqrt[{3}]{7}} {\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{5 3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}} {\sqrt[{3}]{-3 3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{5 3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}} {\sqrt[{3}]{-3 3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{89 3(3{\sqrt[{3}]{49}} 5{\sqrt[{3}]{7}})}} {\sqrt[{3}]{25 3(3{\sqrt[{3}]{49}} 5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}} {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{89 3(3{\sqrt[{3}]{49}} 5{\sqrt[{3}]{7}})}} {\sqrt[{3}]{25 3(3{\sqrt[{3}]{49}} 5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

También se tiene que^[9]​

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{7}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({2\pi }{7}}} {\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({4\pi }{7}}} {\sqrt[{3}]{2\operatorname {sen}({8\pi }{7}}}=\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}} 6 3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}} {\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{49}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {9\pi }{7}})}}=-3*{\sqrt[{3}]{7}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}}}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})}} {\sqrt[{3}]{\cos ^{14}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})}}=-61*{\sqrt[{3}]{7}}/8.}$

Referencias